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单摆/周期公式
作者:fanlei  来源:本站  发表时间:2017-12-14 11:35:39  点击:479

以下为各位大神做的公式推导,云仪小编将这个分享出来供大家参考
如果其他大神有不同意见或者是其他更好的方式,欢迎交流与学习
我们西安云仪也愿意给各位一个交流的平台
让大家可以更好的掌握此项试验

大神一:
单摆的周期公式是 T=2π√(L/g) ,只与摆长和当地的重力加速度有关,与摆长的平方根成正比,与当地重力加速度的平方根成反比.
这个公式T=2π√(L/g)是根据弹簧振子的周期公式T=2π√(m/k)
推导出来的,因为单摆做简谐运动时的比例系数(F=-kx中的k)k=mg/L代入T=2π√(m/k)即得T=2π√(L/g).
证明:
摆球的摆动轨迹是一个圆弧.设摆角(摆球偏离竖直方向的角度)为θ,则摆球的重力mg沿此圆弧的切线方向的分力为mgsinθ.设摆球偏离平衡位置的位移为x、摆长为l,则当摆角很小时,可以认为sinθ=x/l.所以,单摆的回复力为F=-mgx/l.
对于系统而言,m、g、l均为定值,故可认为k=mg/l,则F=-kx.
因此在单摆很小的情况下,单摆做简谐运动.
将k=mg/l代入ω=√(k/m)可得ω=√(g/l).由T=2π/ω可得单摆周期公式
T=2π√(l/g).

弹簧振子
F=-kx
a=d²x/dt²
=-(k/m)x=-ω²x ω=√(k/m)
d²x/dt²+ω²x=0
解微分方程
得:x=Acos(ωt+φ)
ω=2π/T
T=2π/ω=2π√(m/k)
单摆:
F切=ma=-mgsinθ a=ld²θ/dt²
ma=mld²θ/dt²=-mgsinθ
d²θ/dt²+(g/l)sinθ=0
θ<5° sinθ≈θ
d²θ/dt²+(g/l)θ=0 令ω²=g/l
d²θ/dt²+ω²θ=0
解微分方程:θ=θ0cos(wt+φ)
得:T=2π/ω=2π√(l/g)
设夹角a 线长l 拉力T 角速度w
T-mgCOSa=w^2*l (1)
mgSINa=-mdv/dt (2)
v=da/dt*l(3)
有2 3 式得
gSINa/l=-d^2a/dt^2
a很小时sin(a)=a
g*a/l+d^2a/dt^2=0 这是最简单的常微分方程式
特征根是 A=(g/l) i w^2=g/l 所以解a=a0cos(wt+b)
周期T=2TT/w=2TT*(l/g)^1/2
严密的:gsin(a)/l=-d^2a/dt^2 开始不做近似
两边乘以da/dt 再积分(和证明能量守恒一样)
(da/dt)^2=2g/l *COSa+C 当a=0时如果da/dt=w0 那么C=w0^2-2g/l (da/dt)^2=4g/l *(lw0^2/4g-SIN^2a/2)>=0
设lw0^2/4g=k^2 带入 dt=+-1/2*(l/g)^1/2*da/(k^2-SIN^2a/2)^1/2
设SINa/2=ku 在带入 dt=+-(l/g)^1/2*du/((1-u^2)(1-k^2u^2))^1/2
然后利用椭圆积分 得到

大神二
第一向心力:设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动,在某时刻速度为v1 很短的△t时间后为v2速度矢量改变△v=v2-v1 比值Δv/Δt就是质点的平均加速度,方向与Δv相同。当Δt足够小时比值就是瞬时加速度,A B两点就重合为一点,Δv即a的方向就是切线方向 .
用Δs 表示AB长则Δv=v1*Δs/r 用Δv去除 则Δv/Δt=Δs*v/Δt*r 当Δt趋近于0时 Δv/Δt表示a的大小 Δs/Δt表示线速度的大小v1于是 a=v2/r再由F=ma得到F=mv2/r 用极限的思想
第二万有引力公式是实验推倒的,没有推导过程
第三单摆周期公式要积分的,电脑上我不会打
那个牛顿合力公式这种说法没说过,F=ma是牛顿第二定律 f=df/dt=d(mv)/dt是他的数学形式一般低速宏观用F=ma,你要是学过微分的话我可以把他的推到补上
f=ma的推导:
当物体看作质点,宏观低速质量看作不随时间变换即没有函数关系,m对t求导为零,
则f=d(mv)/dt=dm/dt*v+dv/dt*m
在上述前提下dm/dt=0 所以推出f=0+dv/dt*m 即f=ma
欢迎各位同学和老师来补充:

这里我只做一个对比来说明单摆是简谐振动,具体推到你可以去解微分方程,其实也很简单就能算出它的表达式。
首先我们知道弹簧振子的振动是简谐振动(要是这个不知道那就没办法了),弹簧的胡克定律是
              F=k‘x
也就是ma=k’x,则有   a=k‘/m*x=kx
即     x’‘=kx    (或者写成微分形式:d^2x/dt^2=kx)................(*)
只要表达式符合这样的相似条件,那么就是简谐振动。
现在我们假设摆动角度为θ,角速度为ω,角加速度为ɑ,
则有θ’=ω,ω‘=ɑ。
根据单摆的受力可知:mgsinθ=mθ’‘,即  gsinθ=θ’'    ................(#)
根据单摆的要求知道,摆角要小于5°,也就是说θ趋近于0,我们知道当θ→0时,sinθ→θ,也就是可以用θ来代替sinθ
即      sinθ=θ
所以(#)式可以转化为
                 gθ=θ''  即   θ''=g θ  (或者是d^2θ/dt^2=gθ)
这显然与(*)式的表达式是一致的,所以单摆是简谐振动
k1 T=TT/k*(l/g)^1/2*无穷级数((2n-1)!/(2n)!(1/k)^n)^2
TT是派
此文仅供参考,不代表云仪的解答方式

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